通用较低的半区半释放和编码定理 -- computability 领域 和 probability-theory 领域 和 kolmogorov-complexity 领域 cs 相关 的问题

Universal lower semicomputable semimeasure and Coding Theorem


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我遵循李和特有的书"介绍了Kolmogorov复杂性及其应用" 3。我会在这里重写我对我的问题所需的定义。

作者定义了参考通用下脓节象廓的半释放,如

$$$ textbf {m}(x)= sum 2 ^ { - k( mu)} mu(x)$$

总和越过所有较低的半区旋钮半索取。此外,它们名称$ lambda_u(x)$概率,参考通用单调机$ u $ u $ comples在提供硬币翻转输入时从$ x $开头的字符串。

问题1 :作者声称上面的两种数量是等于,可能会将平等达到倍增常数。然而,它在我看来,乘法项不是恒定的,而只是有界。这似乎被他们说明了应该是一个编码定理的事实确认 $$ - log( lambda_u(x))= - log( textbf {m}(x))+ o(1)$$

不幸的是,他们只勾勒出一个证据,所以它不清楚(对我来说至少)是$ o(1)$实际上是一个常数。
我想知道是否(最多乘法常数)实际上是保持的,并且在情况下,将得到对证明的引用。

问题2 :作者索赔$ textbf {m} $是参考通用单调机$ u $ u $的概率计算,该字符串在配有硬币翻转时以$ x $开头的字符串输入,但是,只有在上述两个数量之间平等(最多常数),才允许这种解释,否则我觉得它不起作用。我错了吗?

英文原文

I'm following Li and Vitanyi's book "An introduction to Kolmogorov complexity and its applications" 3ed. I'll rewrite here the definitions I need for my question.

The authors define the reference universal lower semicomputable semimeasure as

$$ \textbf{M}(x) = \sum 2^{-K(\mu)} \mu(x) $$

where the sum goes over all lower semicomputable semimeasures. Moreover, they name $\lambda_U(x)$ the probability that the reference universal monotone machine $U$ computes a string that begins with $x$ when provided with coin-flip input.

Question 1: the authors claim that the two quantities above are equal, probably intending equality up to a multiplicative constant. It seems to me, however, that the multiplicative term is not constant but is only bounded. This seems to be confirmed by the fact that they state what should be a Coding theorem as $$ -\log(\lambda_U(x)) = -\log(\textbf{M}(x)) + O(1)$$

Unfortunately they only sketch a proof, so it's not clear (to me at least) whether that $O(1)$ is actually a constant or not.
I would like to know whether equality (up to a multiplicative constant) actually holds, and in case, a reference to a proof would be appreciated.

Question 2: The authors claim $\textbf{M}$ is the probability that the reference universal monotone machine $U$ computes a string that begins with $x$ when provided with coin-flip input, but this interpretation is only allowed if equality (up to constant) holds among the two above quantities, otherwise I feel it is not legitimate. Am I wrong?

        

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